Question

設(shè)公比大于零的等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，滿足b₁=1，，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用a₁=1，S₄=5S₂，求出數(shù)列的公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；通過，推出，利用累積法求解{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）求出等比數(shù)列的前n項和，化簡C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），推出C_n+1-C_n，利于基本不等式求出數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．
解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）由S₄=5S₂，q＞0，得  …（3分）
又（n＞1），
則得
所以，當(dāng)n=1時也滿足．  …（7分）
（Ⅱ）因為，所以，使數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
則對n∈N^*都成立，…（10分）
即，…（12分）
，
當(dāng)n=1或2時，，所以．     …（14分）
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，累積法的應(yīng)用以及數(shù)列的函數(shù)的特征的應(yīng)用，考查計算能力．