Question

（2013•寧波二模）設(shè)公比大于零的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足b₁=1，Tn=n2bn，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₁=1，S₄=5S₂，求出數(shù)列的公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；通過Tn=n2bn，推出

bn

bn-1

=

n-1

n+1

，利用累積法求解{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，化簡C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），推出C_n+1-C_n，利于基本不等式求出數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）由S₄=5S₂，q＞0，得  q=2，an=2n-1…（3分）
又

Tn=n2bn Tn-1=(n-1)2bn-1

⇒

bn

bn-1

=

n-1

n+1

（n＞1），
則得

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•

bn-2

bn-3

•…•

b2

b1

=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

=

2

n(n+1)

所以bn=

2

n(n+1)

，當(dāng)n=1時(shí)也滿足．  …（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="jplrhfd" class="MathJye">Sn=2n-1，所以Cn=2n(

2

n+1

-λ)，使數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
則Cn+1-Cn=2n(

4

n+2

-

2

n+1

-λ)＜0對n∈N^*都成立，…（10分）
即

4

n+2

-

2

n+1

-λ＜0⇒λ＞(

4

n+2

-

2

n+1

)max，…（12分）

4

n+2

-

2

n+1

=

2n

(n+1)(n+2)

=

2

n+3+ 2 n

，
當(dāng)n=1或2時(shí)，(

4

n+2

-

2

n+1

)max=

1

3

，所以λ＞

1

3

．     …（14分）

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，累積法的應(yīng)用以及數(shù)列的函數(shù)的特征的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．