Question

設(shè)公比小于零的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+2n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知S3=a1+a1q+a1q2=-1-q-q²=-3，故q²+q-2=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+2n-1，知T_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵公比小于零的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，S₃=3a₃，
∴S3=a1+a1q+a1q2=-1-q-q²=-3，
∴q²+q-2=0，解得q=-2，或q=1（舍）．
∴an=(-1)•(-2)n-1．
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+2n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（a₁+1）+（a₂+3）+（a₃+5）+…+[a_n+（2n-1）]
=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+[1+3+5+…（2n-1）]
=（-1）•

1×[1-(-2)n]

1-(-2)

+

n

2

[1+(2n-1)]
=-

1-(-2)n

3

+n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．