Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（-，1）在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點(diǎn)M滿足=．
（1）求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)M（x，y）關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為M₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，點(diǎn)P（-，1）在橢圓上，又，M在y軸上，M為P、F₂的中點(diǎn)，由此解得b²=2，a²=4．從而能得到
所求橢圓C的方程．
（2）點(diǎn)M（x，y）關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為M（x₁，y₁），由題設(shè)能導(dǎo)出3x₁-4y₁=-5x，由點(diǎn)P（x，y）在橢圓C上，知-2≤x≤2．由此可知3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．
解答：解：（1）由已知，點(diǎn)P（-，1）在橢圓上
∴有+=1①（1分）
又，M在y軸上，
∴M為P、F₂的中點(diǎn)，（2分）
∴-+c=0，c=．（3分）
∴由a²-b²=2，②（4分）
解①②，解得b²=2（b²=-1舍去），∴a²=4
故所求橢圓C的方程為+=1．（6分）
（2）∵點(diǎn)M（x，y）關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為M（x₁，y₁），
∴（8分）
解得（10分）
∴3x₁-4y₁=-5x（11分）
∵點(diǎn)P（x，y）在橢圓C：+=1上，∴-2≤x≤2∴-10≤-5x≤10．
即3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．