Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是A₁B₁，AC₁的中點．
（1）求證：MN⊥平面ABC₁；
（2）求三棱錐M-ABC₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得四邊形BCC₁B₁是正方形，MN⊥BC₁，MN⊥AC₁．由此能證明MN⊥平面ABC₁．
（2）MN是三棱錐M-ABC₁的高，由已知條件推導(dǎo)出MN=

2

．S△ABC1=2

2

．由此能求出三棱錐M-ABC₁的體積．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，
∴四邊形BCC₁B₁是正方形．
∴BC₁⊥B₁C．∴MN⊥BC₁．
連接AM，C₁M，△A₁MA≌△B₁MC₁．
∴AM=C₁M，又N是AC₁的中點，∴MN⊥AC₁．
∵BC₁與AC₁相交于點C₁，
∴MN⊥平面ABC₁．
（2）解：由（1）知MN是三棱錐M-ABC₁的高．
在直角△MNC中，MC₁=

5

，AC₁=2

3

，∴MN=

2

．
又S△ABC1=2

2

．
∴VM-ABC1=

1

3

•MN•S△ABC1=

4

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．