Question

某學(xué)校為調(diào)查高一新生上學(xué)路程所需要的時間（單位：分鐘），從高一年級新生中隨機(jī)抽取100名新生按上學(xué)所需時間分組：第1組（0，10]，第2組（10，20]，第3組（20，30]，第4組（30，40]，第5組（40，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求a的值；
（Ⅱ）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名新生參與交通安全問卷調(diào)查，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名新生？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，該校決定從這6名新生中隨機(jī)抽取2名新生參加交通安全宣傳活動，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計算公式,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）由各組的累積頻率為1，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得a的值；
（Ⅱ）先計算各組學(xué)生的人數(shù)，進(jìn)而求出抽樣比，就可得到應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名新生；
（Ⅲ）先計算從6名新生中抽取2名新生所有的情況總數(shù)，再求出第4組至少有一名志愿者被抽中的情況數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵（0.005+0.01+a+0.03+0.035）×10=1，…（1分）
所以a=0.02．…（2分）
（Ⅱ）依題意可知，
第3組的人數(shù)為0.3×100=30，
第4組的人數(shù)為0.2×100=20，
第5組的人數(shù)為0.1×100=10．
所以3、4、5組人數(shù)共有60．…（3分）
所以利用分層抽樣的方法在60名學(xué)生中抽取6名新生，分層抽樣的抽樣比為

6

60

=

1

10

．…（4分）
所以在第3組抽取的人數(shù)為3人，
在第4組抽取的人數(shù)為2人，
在第5組抽取的人數(shù)為1人，…（7分）
（Ⅲ）記第3組的3名新生為A，B，C，第4組的2名新生為a，b，第5組的1名新生為1．
則從6名新生中抽取2名新生，共有：
（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，1），
（B，C），（B，a），（B，b），（B，1），（C，a），
（C，b），（C，1），（a，b），（a，1），（b，1），共有15種．…（9分）
其中第4組的2名新生a，b至少有一名新生被抽中的有：
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），
（C，b），（a，b），（a，1），（b，1），共有9種，…（11分）
則第4組至少有一名新生被抽中的概率P=

9

15

=

3

5

                …（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．