Question

已知f（x）=2ax+blnx-1，設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=0．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=mf（x）+

x2

2

-mx．
（i）若m∈R，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）若1＜m＜3，求證：當(dāng)x∈[1，e]時，g（x）＜

e2

2

-2．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知f′(x)=2a+

b

x

，依題意f（1）=0，且f'（1）=0，由此能求出實數(shù)a，b的值．
（Ⅱ）（i）由f（x）=x-lnx-1，x＞0，得g(x)=

x2

2

-mlnx-m(x＞0)，g′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

，由此能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（ii）當(dāng)1＜m＜3，x∈[1，e]時，

m

∈[1，e]，g（x）在區(qū)間[1，

m

)上是減函數(shù)，在區(qū)間(

m

，e]上是增函數(shù)，由此能證明x∈[1，e]時，g(x)＜

e2

2

-2．

解答： 解：（Ⅰ）由已知f′(x)=2a+

b

x

，
依題意f（1）=0，且f'（1）=0
所以

2a-1=0 2a+b=0

，
解得a=

1

2

，b=-1…（5分）
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得f（x）=x-lnx-1，x＞0
所以g(x)=

x2

2

-mlnx-m(x＞0)，g′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

…（6分）
當(dāng)m≤0，g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，…（7分）
當(dāng)m＞0時，由g'（x）＞0得x＞

m

，由g'（x）＜0得0＜x＜

m

，
所以g（x）在區(qū)間(0，

m

)上是減函數(shù)，在區(qū)間(

m

，+∞)上是增函數(shù)，…（9分）
（ii）當(dāng)1＜m＜3，x∈[1，e]時，

m

∈[1，e]，
g（x）在區(qū)間[1，

m

)上是減函數(shù)，在區(qū)間(

m

，e]上是增函數(shù)
所以g（x）最大值為max（g（1），g（e））…（11分）
又因為1＜m＜3，g(e)=

e2

2

-2m＜

e2

2

-2，g(1)=

1

2

-m＜0＜

e2

2

-2
所以當(dāng)1＜m＜3，x∈[1，e]時，g(x)＜

e2

2

-2…（14分）

點評：本題考查實數(shù)的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．