定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A、B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù).給出如下四個(gè)命題:①對(duì)于給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無(wú)數(shù)個(gè);②定義域和值域都是R的函數(shù)f(x)不存在承托函數(shù);③g(x)=2x為函數(shù)f(x)=|3x|的一個(gè)承托函數(shù);④g(x)=
1
2
x
為函數(shù)f(x)=x2的一個(gè)承托函數(shù).其中正確的命題有______.
①如f(x)=sinx,則g(x)=B(B<-1)就是它的一個(gè)承托函數(shù),且有無(wú)數(shù)個(gè),再如y=tanx.y=lgx就沒(méi)有承托函數(shù),∴命題①正確;
②f(x)=2x+3的定義域和值域都是R,存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1,故命題②不正確;
③令F(x)═|3x|-2x=
x   x≥0
-5x    x<0

可見(jiàn)在x≥0時(shí),函數(shù)F(x)單調(diào)遞增,最小值F(0)=0,
在x<0時(shí),函數(shù)F(x)單調(diào)遞減,最小值大于F(0)=0,
∴F(x)≥0在R上恒成立,符合定義
∴命題③正確;
④x=1時(shí),g(1)=
1
2
,f(1)=1,顯然g(1)<f(1),
當(dāng)x=
1
4
時(shí),g(
1
4
)=
1
8
,f(
1
4
)=
1
16
,顯然g(
1
4
)>f(
1
4
),
命題④不正確.
故答案為:①③
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在R上恒有f′(x)
1
2
(x∈R),則不等式f(x2)<
x2
2
+
1
2
的解集為(  )
A、(1,+∞)
B、(-∞,-1)
C、(-1,1)
D、(-∞,-1)∪(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是實(shí)數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數(shù),在區(qū)間(-1,3)上是減函數(shù),并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若a,b,c滿足b2-3ac<0,求證:函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

23、已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),滿足兩個(gè)條件:①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy成立;②f'(0)=2.
(1)求函數(shù)的f(x)的表達(dá)式;
(2)對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],求證:|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<2,則不等式f(2x)<4x的解集為
{x|x>
1
2
}
{x|x>
1
2
}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù))使得f(x)≥g(x)對(duì)任意的x∈R都成立,則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)承托函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是(  )
A、函數(shù)f(x)=x2-2x不存在承托函數(shù)
B、g(x)=x為函數(shù)f(x)=sinx的一個(gè)承托函數(shù)
C、g(x)=x為函數(shù)f(x)=ex-1的一個(gè)承托函數(shù)
D、函數(shù)f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數(shù)

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