Question

（2011•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）（2）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間上的最小值及f（x）取最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后利用三角函數(shù)的周期公式求出最小正周期，
（2）先求出整體角的范圍，然后利用三角函數(shù)的有界性求出三角函數(shù)的最大值、最小值．

解答：解：（1）f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x=sin2x+

3

cos2x=2(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=2sin(2x+

π

3

)…（5分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π．            …（6分）
（2）由-

π

6

≤x≤

π

2

得0≤2x+

π

3

≤

4π

3

，…．（9分）
所以當(dāng)2x+

π

3

=

4

3

π時(shí)，即x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且最小值為  -

3

故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最小值為-

3

，此時(shí)x=

π

2

．…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的最小正周期的求法．一般先將原函數(shù)化簡為：y=Asin（ωx+φ）的形式．