Question

6．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的極坐標(biāo)方程為psin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程；
（2）已知P為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$上一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程即可；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosα，3sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值即可．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
整理得：ρ（sinθcos$\frac{π}{4}$-cosθsin$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=2$\sqrt{2}$，
即ρsinθ-ρcosθ=4，
則直角坐標(biāo)系中的方程為y-x=4，即x-y+4=0；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosα，3sinα），
∴點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-3sinα+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}cos（α+\frac{π}{3}）+4}{\sqrt{2}}$≥$\frac{-2\sqrt{3}+4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
則P到直線l的距離的最小值為2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，熟練掌握簡(jiǎn)單極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵．