Question

14．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x-x²．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）問是否存在這樣的正數(shù)a，b使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，若存在，求出所有a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，則-x＞0，由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x-x²，可得f（-x）的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）=-f（-x），可得答案；
（Ⅱ）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三種情況分別討論，a，b的取值情況，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則-x＞0，
由f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+2x，x≤0\\{-x}^{2}+2x，x＞0\end{array}\right.$；
（2）分下述三種情況：
①0＜a＜b≤1，那么$\frac{1}{a}$＞1，而當(dāng)x≥0，f（x）的最大值為1，
故此時(shí)不可能使g（x）=f（x），
②若0＜a＜1＜b，此時(shí)若g（x）=f（x），
則g（x）的最大值為g（1）=f（1）=1，得a=1，這與0＜a＜1＜b矛盾；
③若1≤a＜b，因?yàn)閤≥1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，則f（x）=2x-x²，
于是有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}=g（b）=-^{2}+2b\\ \frac{1}{a}=g（a）=-{a}^{2}+2a\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}（a-1）（{a}^{2}-a+1）=0\\（b-1）（^{2}-b+1）=0\end{array}\right.$，
考慮到1≤a＜b，
解得a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，并分析其性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．