已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等邊三角形，直線(xiàn)3x+4y+6=0與以橢圓C的上頂點(diǎn)為圓心，以橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)AM、AN分別與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，kAM、kAN分別為直線(xiàn)AM、AN的斜率，kAM•kAN=-
3
4
，求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求△AMN面積的最大值．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由等邊三角形，得到a=2b，再由直線(xiàn)和圓相切的條件，得到5a=4b+6，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線(xiàn)MN的方程，和M，N的坐標(biāo)，把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，進(jìn)而利用kAM•kAN=-
3
4
，求得k，t的關(guān)系，進(jìn)而可求得直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)；
（3）設(shè)直線(xiàn)MN：x=my-1，聯(lián)立橢圓方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由△AMN面積為S=
1
2
|AQ|•|y1-y2|，代入化簡(jiǎn)整理，再由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最大值．
解答： （1）解：由于短軸的頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離為a，
則由短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等邊三角形，則a=2b，
又直線(xiàn)3x+4y+6=0與以橢圓C的上頂點(diǎn)為圓心，以橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，
則d=
|0+4b+6|
32+42
=a，即有5a=4b+6，
解得，a=2，b=1．
則橢圓方程為：
x2
4
+y2=1；
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kx+t，M、N坐標(biāo)分別為M（x1，y1）、N（x2，y2），
由
y=kx+t
x2+4y2=4
⇒（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0．
判別式為64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）＞0，
∴x1+x2=-
8kt
1+4k2
，x1x2=
4t2-4
1+4k2
，
∵kAM=
y1
x1+2
，kAN=
y2
x2+2
，
∴kAM•kAN=
(kx1+t)(kx2+t)
(x1+2)(x2+2)
=
k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
x1x2+2(x1+x2)+4
=-
3
4
，
將韋達(dá)定理代入，并整理得
t2-4k2
4t2-16kt+16k2
=-
3
4
，化簡(jiǎn)得，t2-3kt+2k2=0，
即有t=k或t=2k，則直線(xiàn)MN的方程為y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A(yíng)（-2，0），則直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)Q（-1，0）；
（3）解：△AMN面積為S=
1
2
|AQ|•|y1-y2|，
設(shè)直線(xiàn)MN：x=my-1，聯(lián)立橢圓方程，得到（4+m2）y2-2my-3=0，
則y1+y2=
2m
4+m2
，y1y2=
-3
4+m2
，
則S=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2
=
1
2
(
2m
4+m2
)2+
12
4+m2
=
2
3+m2
4+m2
=
2
3+m2
+
1
3+m2

令
3+m2
=u（u≥
3
），則u+
1
u
在[
3
，+∞）遞增，當(dāng)u=
3
，即有m=0，
則u+
1
u
取最小值
4
3
3
，此時(shí)S取得最大值2×
3
4
3
=
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)和圓相切的條件，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若a，b，c滿(mǎn)足a2+c2-b2=
3
ac．
（1）求角B；   
（2）若b=2，∠A=105°，求c邊長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若l，m表示直線(xiàn)，α，β，γ表示平面，則下列命題不正確的是（　�。�
A、若l⊥m，l⊥α，m⊥β，則α⊥β
B、若l⊥m，l?α，m?β，則α⊥β
C、若α⊥γ，β∥γ，則α⊥β
D、若l∥m，l⊥α，m?β，則α⊥β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

雙曲線(xiàn)y=
1
x
的焦距為（　　）
A、
2
B、2
2
C、2
D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知AB、CD是夾在平行平面α、β間的異面線(xiàn)段，A，C∈α，B，D∈β，且AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB和CD成60°角．求異面直線(xiàn)AC和BD所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將形如M=mn（m、n∈N*）的正整數(shù)表示成各項(xiàng)都是整數(shù)、公差為2的等差數(shù)列的前m項(xiàng)和，稱(chēng)作“對(duì)M的m項(xiàng)分劃”．例如，將4表示成4=22=1+3，稱(chēng)作“對(duì)4的2項(xiàng)分劃”，將27表示成27=33=7+9+11，稱(chēng)作“對(duì)27的3項(xiàng)分劃”．那么對(duì)256的16項(xiàng)分劃中，最大的數(shù)是（　�。ā　。�
A、19B、21C、31D、39

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線(xiàn)段AO，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AP=CQ，則三棱錐P-QCO體積的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=x2+bln（x+1）其中b∈R．
（1）若對(duì)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（3）若b=-1，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式
n
k=1
f（
1
k
）＜1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

方程2sin2x=x-3的解有（　�。﹤�(gè)．
A、1B、2C、3D、4

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同步練習(xí)冊(cè)答案