【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的動(dòng)直線與橢圓交于點(diǎn)P,Q,過(guò)點(diǎn)F2與PQ垂直的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí),PF1=3PF2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)H(3,0),記直線PH,QH,AH,BH的斜率依次為,,,.
①若,求直線PQ的斜率;
②求的最小值.
【答案】(1)(2)①或②
【解析】
(1)已知條件有,直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí),PQx軸,所以△PF1F2為直角三角形,利用橢圓定義和勾股定理可求得,得橢圓方程;
(2)①設(shè)直線PQ:,代入到橢圓方程得后化簡(jiǎn),設(shè)P(,),Q(,),應(yīng)用韋達(dá)定理得,,計(jì)算并代入可得;
②分類(lèi)討論,當(dāng)這兩條直線中有一條與坐標(biāo)軸垂直時(shí),,
當(dāng)兩條直線與坐標(biāo)軸都不垂直時(shí),由①知,同理可得,計(jì)算后應(yīng)用基本不等式可得最小值.
解:(1)因?yàn)闄E圓C:(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,所以b=1,
當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí),PQx軸,所以△PF1F2為直角三角形,
由定義知PF1+PF2=2a,而PF1=3PF2,故,,
由得,化簡(jiǎn)得a2=2,
故橢圓的方程為.
(2)①設(shè)直線PQ:,代入到橢圓方程得:,設(shè)P(,),Q(,),則,,
所以
所以,
解得:或,即為直線PQ的斜率.
②當(dāng)這兩條直線中有一條與坐標(biāo)軸垂直時(shí),,
當(dāng)兩條直線與坐標(biāo)軸都不垂直時(shí),
由①知,同理可得
故
,
當(dāng)且僅當(dāng)即k=1時(shí)取等號(hào).
綜上,的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率為,點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn),直線和與直線l:分別交于點(diǎn)M,N,試探究以為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn),若是,求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo):若否,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn),求的值;
(Ⅲ)若恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐中,與均為等腰直角三角形,且,,為上一點(diǎn),且平面.
(1)求證:;
(2)過(guò)作一平面分別交, , 于,,,若四邊形為平行四邊形,求多面體的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)在歐洲的某孔子學(xué)院為了讓更多的人了解中國(guó)傳統(tǒng)文化,在當(dāng)?shù)嘏e辦了一場(chǎng)由當(dāng)?shù)厝藚⒓拥闹袊?guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)大賽,為了了解參加本次大賽參賽人員的成績(jī)情況,從參賽的人員中隨機(jī)抽取名人員的成績(jī)(滿分100分)作為樣本,將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示,已知抽取的人員中成績(jī)?cè)?/span>[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為3.
(1)求的值和估計(jì)參賽人員的平均成績(jī)(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字);
(2)已知抽取的名參賽人員中,成績(jī)?cè)?/span>[80,90)和[90,100]女士人數(shù)都為2人,現(xiàn)從成績(jī)?cè)?/span>[80,90)和[90,100]的抽取的人員中各隨機(jī)抽取2人,記這4人中女士的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,菱形與正方形所在平面相交于.
(1)求作平面與平面的交線,并說(shuō)明理由;
(2)若與垂直且相等,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線:的離心率,其左焦點(diǎn)到此雙曲線漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),求圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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