Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若（為給定的常數(shù)，且），記在區(qū)間上的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當時，無零點；②當時，有一個零點；③當時，有兩個零點；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，并令求得極值點.在極值點兩側(cè)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，并求得最小值.結(jié)合當及時函數(shù)值特征，即可確定零點個數(shù).

（2）根據(jù)及，可得.進而確定的表達式，代入不等式化簡變形，并令，構(gòu)造函數(shù)，求得后由導(dǎo)函數(shù)符號判斷的單調(diào)性及最值，即可證明不等式成立.

（1）函數(shù)，

則，

令，解得，

當時，，所以在為單調(diào)遞減；

當時，，所以在為單調(diào)遞增；

所以，

當時；

當時；

①當，即時，無零點；

②當，即時，有一個零點；

③當，即時，有兩個零點；

（2）證明：因為，

所以，

由（1）可知在區(qū)間上的最小值，

，

所以不等式可化為

，

移項化簡可得，

所以，

即，

令，則.

所以原不等式可化為，

令.

則，

所以在單調(diào)遞減，

則，

即成立，

原不等式得證.