在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取三個(gè)高度均為h的圓柱,其軸截面如圖所示,設(shè)三個(gè)圓柱體積之和為V=f(h).
(1)求f(h)的表達(dá)式,并寫出h的取值范圍是;
(2)求三個(gè)圓柱體積之和V的最大值.

【答案】分析:(1)根據(jù)根據(jù)球的截面圓性質(zhì),得自下而上三個(gè)圓柱的底面半徑r1、r2、r3關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合圓柱的體積公式,可得三個(gè)圓柱體積之和為V=f(h)的表達(dá)式.根據(jù)三個(gè)圓柱高度之積小于球半徑,得到h的取值范圍.
(2)利用導(dǎo)數(shù)工具,研究f(h)的單調(diào)性,可得f(h)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),從而得到f(h)的最大值為
解答:解:(1)設(shè)自下而上三個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1、r2、r3,
根據(jù)球的截面圓性質(zhì),可得,
,. …(3分)
它們的高均為h,所以體積和等于

=π[(1-h2)+(1-4h2)+(1-9h2)]h=π(3h-14h3)(6分)
因?yàn)槿齻(gè)圓柱高度之積小于球半徑,所以0<3h<1,得h的取值范圍是;  …(7分)
(2)由f(h)=π(3h-14h3)得f'(h)=π(3-42h2)=3π(1-14h2),…(9分)
又∵,
時(shí),f'(h)>0;時(shí),f'(h)>0.(11分)
可得f(h)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),
因此,當(dāng)時(shí),f(h)取最大值,這個(gè)最大值為.  …(13分)
答:三個(gè)圓柱體積和V的最大值為. …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以導(dǎo)數(shù)為工具,求三個(gè)圓柱體積之和的最大值,著重考查了球的截面圓性質(zhì)、圓柱體積公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性等知識(shí),屬于中檔題.
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在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取三個(gè)高度均為h的圓柱,其軸截面如圖所示,設(shè)三個(gè)圓柱體積之和為V=f(h).

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在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取三個(gè)高度均為h的圓柱,其軸截面如圖所示,設(shè)三個(gè)圓柱體積之和為

(1)  求f(h)的表達(dá)式,并寫出h的取值范圍是 ;

(2)  求三個(gè)圓柱體積之和V的最大值;

 

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在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取三個(gè)高度均為h的圓柱,其軸截面如圖所示,設(shè)三個(gè)圓柱體積之和為V=f(h).
(1)求f(h)的表達(dá)式,并寫出h的取值范圍是;
(2)求三個(gè)圓柱體積之和V的最大值.

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