Question

（1）已知f（x）=-3x²+a（6-a）x+6．解關(guān)于a的不等式f（1）＞0；
（2）設(shè)x、y＞0，x+y+xy=2，求x+y的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,一元二次不等式的解法

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）f（1）=-a²+6a+3＞0，再解不等式；
（2）先根據(jù)均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入x+y+xy=2中，得到關(guān)于x+y的一元二次不等式進去求得x+y的最小值．

解答： 解：（1）f（1）=-a²+6a+3＞0，
∴3-2

3

＜a＜3+2

3

，
即不等式的解集為{x|3-2

3

＜a＜3+2

3

}；
（2）∵x，y∈R⁺，
∴xy≤

(x+y)2

4

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時成立）
∵x+y+xy=2，
∴xy=2-（x+y）
∴2-（x+y）≤

(x+y)2

4

解得x+y≥2

3

-2或x+y≤-2-2

3

（舍去）
∴x+y的最小值為2

3

-2．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．