Question

心理學(xué)家通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為發(fā)現(xiàn)；學(xué)生的接受能力與老師引入概念和描述問題所用的時間相關(guān)，教學(xué)開始時，學(xué)生的興趣激增，學(xué)生的興趣保持一段較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示講授概念的時間（單位：min），可有以下的關(guān)系：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

（Ⅰ）開講后第5min與開講后第20min比較，學(xué)生的接受能力何時更強(qiáng)一些？
（Ⅱ）開講后多少min學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時間？
（Ⅲ）若一個新數(shù)學(xué)概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min時間，那么老師能否在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個概念？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：第一小題比較5分鐘和20分鐘學(xué)生的接受能力何時強(qiáng)，方法是把x=5代入第一段函數(shù)中，而x=20要代入到第二段函數(shù)中，比較大小即可．不同的自變量代入相應(yīng)的解析式才能符合要求；
第二小題求學(xué)生的接受能力最強(qiáng)其實(shí)就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可；
第三小題考查分段函數(shù)圖象和增減性，令f（x）≥55，分別解出0＜x≤10時，x＞16時，x的范圍，再求區(qū)間的長度，再求和與13min比較即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59(10＜x≤16) -3x+107(16＜x≤30)

，
由于f（5）=53.5，f（20）=47，則f（5）＞f（20）
則開講后第5min比開講后第20min，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一些；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤10時，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9，
則當(dāng)x=10時，f（x）_min=f（10）=59，
當(dāng)x＞16時，f（x）＜-3×16+109=59，
故開講后10min（包括10分鐘）學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，能維持6 min．
（Ⅲ）由

-0.1x2+2.6x+43≥55 0＜x≤10

得6＜x≤10；
由

-3x+107≥55 16＜x≤30

 得16＜x≤

52

3

則t=（10-6）+6+（

52

3

-6）=

34

3

＜13．
答：老師不能在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個概念．

點(diǎn)評：此題考查的是分段函數(shù)的基本知識及分段函數(shù)圖象增減性的應(yīng)用．此題學(xué)生容易出錯，原因是學(xué)生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點(diǎn)．