Question

直線y=kx+b與圓x²+y²=4交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）當(dāng)k=0，0＜b＜2時(shí)，求S的最大值；
（2）當(dāng)b=2，S=1時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)k=0，求出直線方程，設(shè)出A，B坐標(biāo)，求出|AB|，寫(xiě)出面積的表達(dá)式，利用基本不等式求S的最大值；
（2）當(dāng)b=2，S=1時(shí)，設(shè)圓心O到直線y=kx+2的距離為d，求出面積的表達(dá)式，得到k²-4|k|+1=0，然后求實(shí)數(shù)k的值．
解答：解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=b，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，b），
由x²+b²=4，解得，
所以．
所以=．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值2．
（2）設(shè)圓心O到直線y=kx+2的距離為d，則．
因?yàn)閳A的半徑為R=2，
所以．
于是，
即k²-4|k|+1=0，解得．
故實(shí)數(shù)k的值為，，，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，三角形面積公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的思想，計(jì)算能力．