Question

（2010•廣州模擬）直線y=kx+b與圓x²+y²=4交于A、B兩點，記△AOB的面積為S（其中O為坐標原點）．
（1）當k=0，0＜b＜2時，求S的最大值；
（2）當b=2，S=1時，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）通過k=0，求出直線方程，設(shè)出A，B坐標，求出|AB|，寫出面積的表達式，利用基本不等式求S的最大值；
（2）當b=2，S=1時，設(shè)圓心O到直線y=kx+2的距離為d，求出面積的表達式，得到k²-4|k|+1=0，然后求實數(shù)k的值．

解答：解：（1）當k=0時，直線方程為y=b，
設(shè)點A的坐標為（x₁，b），點B的坐標為（x₂，b），
由x²+b²=4，解得x1，2=±

4-b2

，
所以|AB|=|x2-x1|=2

4-b2

．
所以S=

1

2

•|AB|•b=b

4-b2

≤

b2+4-b2

2

=2．
當且僅當b=

4-b2

，即b=

2

時，S取得最大值2．
（2）設(shè)圓心O到直線y=kx+2的距離為d，則d=

2

k2+1

．
因為圓的半徑為R=2，
所以

|AB|

2

=

R2-d2

=

4- 4 k2+1

=

2|k|

k2+1

．
于是S=

1

2

|AB|×d=

2|k|

k2+1

×

2

k2+1

=

4|k|

k2+1

=1，
即k²-4|k|+1=0，解得|k|=2±

3

．
故實數(shù)k的值為2+

3

，2-

3

，-2+

3

，-2-

3

．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離，三角形面積公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的思想，計算能力．