Question

將函數(shù)y=sin（x-

π

3

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移

π

3

個單位長度后，得到函數(shù)f（x）的圖象．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）變換后函數(shù)解析式為f（x）=2sinx，從而可得f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

2

]∪[

3π

2

，2π]．
（2）化簡得g（x）=2（sinx+

1

2

）²-

1

2

，從而可求g（x）的值域．

解答： 解：將函數(shù)y=sin（x-

π

3

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)=2sin（x-

π

3

）的圖象；
再把所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移

π

3

個單位長度后，得到函數(shù)f（x）=2sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=2sinx的圖象．
（1）∵f（x）=2sinx，正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z
∴f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

2

]∪[

3π

2

，2π]．
（2）∵g（x）=（1+sinx）f（x）=（1+sinx）2sinx=2（sin²x+sinx）=2（sinx+

1

2

）²-

1

2

∵sinx∈[-1，1]
∴當(dāng)sinx=1時，函數(shù)f（x）取到最大值為4，
當(dāng)sinx=-

1

2

時，函數(shù)f（x）取到最小值為-

1

2

，
綜上函數(shù)g（x）的值域是[-

1

2

，4]．

點(diǎn)評：本題主要考察了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)值域的解法，屬于基本知識的考查．