Question

（本題滿分15分）已知，是平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知圓方程為，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

（1） ；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓且，，，

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線方程為，

則，若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，由 ，又直線與圓相切，則

，所以再對(duì)k進(jìn)行分類討論即可求得長(zhǎng)度的取值范圍

試題解析：（1）由題意知，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 2分

且，，，

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 5分

（2）若直線斜率不存在，則直線方程為，

此時(shí)， 6分

若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立，得：

∴ 8分

∴∴ 9分

∵直線與圓相切，∴，即 11分

∴

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，， 14分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 ∴ 15分

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合應(yīng)用