Question

已知（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中令x=0，就可以求出常數(shù)，即1=a₀．請你研究其中蘊含的解題方法研究下列問題：若e^x=

+∞

i=0

aixi，即e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，則

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,導(dǎo)數(shù)的運算,數(shù)列的求和,二項式系數(shù)的性質(zhì),歸納推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,二項式定理

分析：通過對e^x=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…a_nxⁿ+…，連續(xù)求導(dǎo)，賦值求出a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，猜想a_n，然后求解

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值．

解答： 解：對ex=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…anxn+…
兩邊求導(dǎo)：ex=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…nanxn-1+…令x=0得：a1=1⇒

1

a1

=1
再兩邊求導(dǎo)：ex=2×1a2+3×2a3x+4×3a4x2+…n×(n-1)anxn-2+…令x=0得：a2=

1

1×2

⇒

1

a2

=1×2=2!
再兩邊求導(dǎo)：ex=3×2×1a3+4×3×2a4x+…n(n-1)(n-2)anxn-3+…令x=0得：a3=

1

1×2×3

⇒

1

a2

=1×2×3=3!
…
猜想：an=

1

1×2×3×…n

⇒

1

an

=1×2×3×…n=n!
所以

n

an

=n×n!=[(n+1)-1]n!=(n+1)!-n!，所以

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

…

n

an

=(2!-1!)+(3!-2!)+…[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1．
故答案為：（n+1）！-1．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及二項式定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．