Question

設數(shù)列{a_n}的前N項和為S_n，且滿足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求通項公式a_n；
（Ⅲ）若數(shù)列{

bn

an

}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列，只要證明 

Sn+1+1

Sn+1

=

3Sn+3

Sn+1

為常數(shù)即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=3n-1，利用a₁=S₁，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅲ）由等差數(shù)列的通項公式可求

bn

an

，利用錯位相減可求數(shù)列的和

解答：證明：（Ⅰ）因為 S_n+1=3S_n+2，
所以 

Sn+1+1

Sn+1

=

3Sn+3

Sn+1

=3．
又∵S₁+1=3
所以數(shù)列 {1+S_n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=3n-1．
當n=1時，a₁=S₁=2．
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）
=2×3^n-1
故an=2×3n-1．
（Ⅲ）因為 數(shù)列{

bn

an

}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
由等差數(shù)列的通項公式可得 

bn

an

=1+2（n-1）=2n-1
所以 bn=2(2n-1)•3n-1．
所以Tn=2[1•30+3•3+…+(2n-1)•3n-1]
   3T_n=2[1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ]．
兩式相減可得，-2T_n=2[1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ]
∴T_n=1+2×3×

1-3n-1

1-3

-(2n-1)•3n
∴Tn=2+(2n-2)•3n

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式的求解中的應用，等差數(shù)列的通項公式的求解及錯位相減求和方法的應用．