【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形,, ,是的中點,.
(Ⅰ)證明:⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的大。
(Ⅲ)線段上是否存在一點,使得直線平面. 若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析
【解析】
(I)依題意易得兩兩垂直,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.通過,證得平面.(II)通過計算平面和平面的法向量,由此計算出面面角的余弦值,進(jìn)而求得二面角的大小.(III)設(shè)出的坐標(biāo),利用直線的方向向量和平面的法向量垂直,求出關(guān)于點坐標(biāo)的參數(shù),由此判斷出點的位置.
(Ⅰ)因為 平面.
所以,,又.
如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意得
所以,,.
所以,,
所以,,
所以平面.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為,
因為.
所以,即,
令,則.
于是.
因為⊥平面,所以為平面的法向量,
又.
所以.
因為所求二面角為鈍角,所以二面角大小為.
(Ⅲ)解:設(shè),
,
,.
設(shè)平面的法向量,
則,即 ,
令,,. 于是,
如果直線平面,
那么,解得 .
所以,存在點為線段靠近點的三等分點,使得直線平面.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠家為了了解一款產(chǎn)品的質(zhì)量,隨機(jī)抽取200名男性使用者和100名女性使用者,對該款產(chǎn)品進(jìn)行評分,繪制出如下頻率分布直方圖.
(1)利用組中值(數(shù)據(jù)分組后,一個小組的組中值是指這個小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù)),估計100名女性使用者評分的平均值;
(2)根據(jù)評分的不同,運用分層抽樣從這200名男性中抽取20名,在這20名中,從評分不低于80分的人中任意抽取3名,求這3名男性中恰有一名評分在區(qū)間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得有三個相異零點?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,是矩形,平面平面,,,,為的中點.
(1)求證:∥平面;
(2)在線段上是否存在點,使二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省的一個氣象站觀測點在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度(單位:cm)的情況如表1:
900 | 700 | 300 | 100 | |
0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
該省某市2017年11月份AQI指數(shù)頻數(shù)分布如表2:
頻數(shù)(天) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
<>(1)設(shè),若與之間是線性關(guān)系,試根據(jù)表1的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)小李在該市開了一家洗車店,洗車店每天的平均收入與AQI指數(shù)存在相關(guān)關(guān)系如表3:
日均收入(元) | -2000 | -1000 | 2000 | 6000 | 8000 |
根據(jù)表3估計小李的洗車店2017年11月份每天的平均收入.
附參考公式:,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,交BD于點,是邊長為2的正三角形,分別是的中點.
(1)求證:EF//平面SAD;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不過原點的直線與橢圓相交于兩點,與直線相交于點,且是線段的中點,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2018·贛中聯(lián)考]李冶(1192-1279),真實欒城(今屬河北石家莊市)人,金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人,晚年在封龍山隱居講學(xué),數(shù)學(xué)著作多部,其中《益古演段》主要研究平面圖形問題:求圓的直徑、正方形的邊長等.其中一問:現(xiàn)有正方形方田一塊,內(nèi)部有一個圓形水池,其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝,若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步,則圓池直徑和方田的邊長分別是(注:240平方步為1畝,圓周率按3近似計算)( )
A. 10步,50步 B. 20步,60步 C. 30步,70步 D. 40步,80步
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓的方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)時,與相交于,兩點,求的最小值.
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