Question

已知函數f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間與最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x³=0在區(qū)間內有兩個不相等的實根，求實數m的取值范圍；  （其中e為自然對數的底數）
（3）如果函數g（x）=f（x）-ax的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求證：g'（px₁+qx₂）＜0（其中，g'（x）是g（x）的導函數，正常數p，q滿足p+q=1，q＞p）

Answer 1

【答案】分析：（1）由，x＞0，知當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．由此能求出函數f（x）的單調區(qū)間與最值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化為-m=2lnx-x²，由f（x）在區(qū)間上的最大值為-1，，f（e）=2-e²，．知f（x）在區(qū)間上的最小值為．由此能求出實數m的取值范圍．
（3）由，又f（x）-ax=0有兩個實根x₁，x₂，知兩式相減，得2（lnx₁-lnx₂）-（x₁²-x₂²）=a（x₁-x₂）由此入手能夠證明：．g′（px₁+qx₂）＜0．
解答：解：（1）∵，x＞0，
∴當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴當x=1時，f（x）有極大值，也是最大值，即為-1，但無最小值．
故f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），單調遞減區(qū)間為（1，+∞）；最大值為-1，但無最小值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化為-m=2lnx-x²，由（1）知，f（x）在區(qū)間上的最大值為-1，，f（e）=2-e²，．
∴f（x）在區(qū)間上的最小值為．
故-m=2lnx-x²在區(qū)間上有兩個不等實根需滿足，
∴，∴實數m的取值范圍為．
（3）∵，又f（x）-ax=0有兩個實根x₁，x₂，
∴兩式相減，得2（lnx₁-lnx₂）-（x₁²-x₂²）=a（x₁-x₂）
∴
于是
=．
∵q＞p，∴2q≥1，∵2p≤1，∴（2p-1）（x₂-x₁）＜0．
要證：g′（px₁+qx₂）＜0，只需證：＜0．
只需證：．（*）
令，∴（*）化為．
只證即可.=
=，
∴t-1＜0．∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上單調遞增，∴u（t）＜u（1）=0
∴u（t）＜0，∴．
即：．∴g′（px₁+qx₂）＜0．
點評：本題考查導數的性質和應用，具有一定的難度，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件．