Question

已知a>0，n為正整數(shù)．

（1）設(shè)y=(x-a)ⁿ，證明y¢=n(x-a)^n-1；

（2）設(shè)f_n(x)=xⁿ-(x-a)ⁿ，對(duì)任意n³a，證明f¢_n+1(n+1)>(n+1)f¢_n(n)

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力． 證明：（1）因?yàn)?img align="absmiddle" width=161 height=44 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0049/0005/07a326bd3e7b211657114aee500b5068/C/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">， 所以． （2）對(duì)函數(shù)fn(x)=xn-(x-a)n求導(dǎo)數(shù)： f¢n(x)=nxn-1-n(x-a)n-1，所以f¢n(n)=n[nn-1-(n-a)n-1]． 當(dāng)x³a>0時(shí)，fn¢(x)>0，∴ 當(dāng)x³a時(shí)，fn(x)=xn-(x-a)n是關(guān)于x的增函數(shù)． 因此，當(dāng)n³a時(shí)，(n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)n ∴ f¢n+1(n+1)=(n+1)［(n+1)n-(n+1-a)n］>(n+1)(nn-(n-a)n) >(n+1)(nn-(n-a)n-1)=(n+1)fn¢(n)． 即對(duì)任意n³a，f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n)．