【題目】（A）已知數(shù)列滿足，其中， .

（1）求， ， ，并猜想的表達(dá)式（不必寫出證明過程）；

（2）由（1）寫出數(shù)列的前項和，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（B）已知數(shù)列的前項和為，且滿足， .

（1）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）設(shè)， ，求的最大值.

【答案】（A）（1）詳見解析;（2）詳見解析.（B）（1）詳見解析;（2）.

【解析】試題分析:（A）（1）利用的遞推關(guān)系得到，從而求得，由此猜想.（2）由于是等比數(shù)列，利用前項和公式可得的表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程證明結(jié)論. （B）（1）利用，和的遞推關(guān)系，可求得的值，由此猜想.然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程證明結(jié)論. （2）利用，可求得的通項公式，代入并化簡，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得其最大值.

試題解析：

（A）解（1）由題意， ， ， ，

則， ， ，

猜想得： .

（2）由（1），數(shù)列是以4為首項，公比為2的等比數(shù)列，

則有，

證明：當(dāng)時， 成立，

假設(shè)當(dāng)時，有，

則當(dāng)時， ，

綜上有成立.

（B）（1），

由，得，

由，得，

猜想得： ，

證明：當(dāng)時， 成立，

假設(shè)當(dāng)時，有，

則當(dāng)時， ， .

綜上， 成立.

（2）由（1），時， ，

當(dāng)時， 滿足止式，

所以，則， ，

設(shè)，則有在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為，且，所以當(dāng)或時， 有最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有兩個不透明的箱子，每個箱子都裝有4個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.

(1)甲從其中一個箱子中摸出一個球，乙從另一個箱子摸出一個球，誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），求甲獲勝的概率；

(2)摸球方法與（1）同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝，所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)， 是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線方程是.

（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)）。證明：對任意，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖:某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（是直角頂點）來處理污水，管道越長污水凈化效果越好，設(shè)計要求管道的的接口是的中點，分別落在線段上。已知米，米，記.

（1）試將污水凈化管道的長度表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）若，求此時管道的長度；

（3）當(dāng)取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)在點點處的切線方程；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點和極值；

（3）當(dāng)時， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏，將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.

（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)？

（2）若參賽選手共6萬人，用頻率估計概率，試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù)；

（3）在優(yōu)秀等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在良好等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名，記其編號為，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為，求使得方程組有唯一一組實數(shù)解的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分，假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響.

（1）求這名同學(xué)得300分的概率；

（2）求這名同學(xué)至少得300分的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于空間直角坐標(biāo)系中的一點，有下列說法：

①點到坐標(biāo)原點的距離為；

②的中點坐標(biāo)為；

③點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為；

④點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為；

⑤點關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)為.

其中正確的個數(shù)是

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足，

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）求證：數(shù)列{an}中的任意三項不可能成等差數(shù)列；

（3）設(shè)，Tn為{bn}的前n項和，求證．

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