考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同切線，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），分類討論，即可得出函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值；
（3）求導(dǎo)數(shù)，確定h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，再利用函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)
，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：
解：（1）因?yàn)閒（x）=
x
3-ax（a＞0），g（x）=bx
2+2b
所以f′（x）=x
2-a，g′（x）=2bx，
因?yàn)榍�y=f（x）與y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同切線，
所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1）．
即
-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=
，b=
；
（2）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=
x
3-x-1
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
由于h（-2）=-
，h（1）=-
，所以h（-2）=h（1）．
①當(dāng)-2≤t＜1時(shí)，[h（x）]
min=h（1）=-
；
③當(dāng)t≥1時(shí)，h（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，[h（x）]
min=h（t）=
t
3-t-1；
綜上可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值為[h（x）]
min=
| | t3-t-1，t∈[1，+∞) | | -，t∈[-2，1) |
| |
；
（2）當(dāng)a=1-2b時(shí)，h（x）=
x3+x2-ax-a（a＞0），
所以h′（x）=x
2+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）．
令h′（x）=0，解得x
1=-1，x
2=a＞0．
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：
| x |
（-∞，-1） |
-1 |
（-1，a） |
a |
（a，+∞） |
| h′（x） |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
| h（x） |
↗ |
極大值 |
↘ |
極小值 |
↗ |
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）．
故h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．
從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)
即
| | -+2(1-a)+2a-a＜0 | | -++a-a＞0 | | -a＜0 |
| |
解得0＜a＜
．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
