Question

2013年國慶期間，高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下圖的頻率分布直方圖．
（1）此調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的中位數(shù)的估計值；
（3）若從車速在[80，90）的車輛中任抽取3輛，求抽出的3輛車中車速在[85，90）的車輛數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,收集數(shù)據(jù)的方法,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：

分析：（1）這個抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應(yīng)的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應(yīng)矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（3）從車速在[80，90）的車輛中任抽取3輛，根據(jù)題意抽出的3輛車中速車在[85，90）的車輛數(shù)ξ可能為1、2、3，求出相應(yīng)的概率，即可求得分布列和期望．

解答： 解：（1）由題意知這個抽樣是按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣．
故調(diào)查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣；                         …（2分）
（2）設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計值為0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-95）=0.5
，解得x=97.5
即中位數(shù)的估計值為97.5…（4分）                
（3）從圖中可知，車速在[80，85）的車輛數(shù)為0.01×5×40=2（輛），
車速在[85，90）的車輛數(shù)為0.02×5×40=4（輛）
∴ξ可取：1，2，3      …（6分）
P(ξ=1)=

C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 0 2 C 3 4

C 3 6

=

1

5

，…（8分）
ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

…（10分）
均值E(ξ)=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．…（12分）

點評：解決頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應(yīng)的矩形的底邊中點的和