Question

用一根長為10m的繩索圍成一個圓心角為α（0＜α＜π），半徑不超過2m的扇形場地，設(shè)扇形的半徑為x m，面積為S m²．
（1）寫出S關(guān)于x的表達(dá)式，并求出此函數(shù)的定義域
（2）當(dāng)半徑x和圓心角α分別是多少時，所圍成的扇形場地的面積S最大，并求最大面積．

Answer 1

考點：扇形面積公式,基本不等式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）直接利用扇形的周長公式以及面積公式寫出S關(guān)于x的表達(dá)式，并求出此函數(shù)的定義域．
（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出當(dāng)半徑x和圓心角α分別是多少時，所圍成的扇形場地的面積S最大，直接求最大面積．

解答： 解：（1）扇形的半徑為x m，扇形的周長10m，
扇形的弧長為：10-2x，m
∴S=

1

2

（10-2x）x=-x²+5x，x∈（

10

π+2

，2]．
（2）∵S=-x²+5x，x∈（

10

π+2

，2]．函數(shù)S在x∈（

10

π+2

，2]上是增函數(shù)，
∴x=2時扇形面積最大，此時扇形的圓心角：

6

2

=3，
扇形面積的最大值為：6m²．

點評：本題考查扇形面積公式以及周長公式的應(yīng)用，二次函數(shù)的最大值的求法．