Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），已知當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f（x）在[0，1]上的解析式，再換元，利用配方法，分類討論，可求函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，利用f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，在利用分離參數(shù)法，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]
∵當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）
∴f（-x）=

1

4-x

-

a

2-x

=4^x-a•2^x
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-4^x+a•2^x（x∈[0，1]）
 令t=2^x，t∈[1，2]，則g（t）=at-t²=-（t-

a

2

）²+

a2

4

當(dāng)

a

2

≤1，即a≤2時(shí)，g（t）_max=g（1）=a-1；
當(dāng)1＜

a

2

＜2，即2＜a＜4時(shí)，g（t）_max=g（

a

2

）=

a2

4

；
當(dāng)a≥4時(shí)，g（t）_max=g（2）=2a-4
綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的最大值為a-1；當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）的最大值為

a2

4

；當(dāng)a≥4時(shí)，f（x ）的最大值為2a-4．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在0，1上是增函數(shù)，
所以f′（x）=2^xln2（a-2•2^x）≥0
∴a-2•2^x≥0恒成立
∴a≥2•2^x
∵x∈[0，1]，∴2^x∈[1，2]
∴a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．