Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率均小于零．
（1）證明f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（2）如果f（x-c），f（x-c²）的定義域的交集為空集，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）證明：若-1≤c≤2，則f（x-c），f（x-c²）存在公共的定義域，并求出這個(gè)公共的定義域．

Answer 1

解：（1）由已知對(duì)任意的x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂，
都有，從而x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號(hào)，
所以f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x-c）的定義域是[c-1，c+1]，f（x-c²）的定義域是[c²-1，c²+1]，
因?yàn)橐陨蟽蓚�(gè)集合的交集為空集，所以c²-1＞c+1或c²+1＜c-1解得：c＞2或c＜-1
（3）因?yàn)閏²+1＞c-1恒成立，有（2）問可知：當(dāng)-1≤c≤2時(shí)，
f（x-c），f（x-c²）存在公共的定義域．
若c²-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0時(shí)，c²+1≥c+1，c²-1≥c-1，此時(shí)的交集是[c²-1，c+1]，即為公共的定義域；
若0＜c＜1，則c²+1＜c+1，c²-1＜c-1，此時(shí)的交集是[c-1，c²+1]，即為公共的定義域．
分析：（1）由已知對(duì)任意的x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂，都有，從而x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號(hào)，所以f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)．
（2）由f（x-c）的定義域得f（x-c²）的定義域，根據(jù)題目條件可得關(guān)于c的不等式，通過求解可得c的取值范圍．
（3）有（2）問可知：當(dāng)-1≤c≤2時(shí)，f（x-c），f（x-c²）存在公共的定義域．若c²-1≤c+1，即1≤c≤2或-1≤c≤0時(shí)，c²+1≥c+1，c²-1≥c-1，此時(shí)的交集是[c²-1，c+1]；若0＜c＜1，則c²+1＜c+1，c²-1＜c-1，此時(shí)的交集是[c-1，c²+1]
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的定義域及其求法，注意對(duì)題目條件的靈活轉(zhuǎn)化，是個(gè)中檔題．