【題目】設(shè)函數(shù), = .

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求滿足條件的最小正整數(shù)的值;

(2)求證: .

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;

(Ⅱ)(1)3;(2)見解析.

【解析】試題分析:

(Ⅰ)求單調(diào)區(qū)間,只要求得導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍()可解不等式和不等式,從而得單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)(1)求得,由有兩個(gè)零點(diǎn)得, 的最小值為,且, 由此可得,由函數(shù)是增函數(shù),通過估值可得最小正整數(shù)的值;(2)證明,設(shè),由,可把表示,不等式中的可替換,然后變形為的不等式,設(shè),則,只要證相應(yīng)地關(guān)于的不等式在上成立,這又可用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)的函數(shù)得出.

試題解析:

(Ⅰ)

當(dāng)時(shí), 上恒成立,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,

此時(shí) 無單調(diào)減區(qū)間.

當(dāng)時(shí),由,得, ,得,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)(1)

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),所以,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增, 在單調(diào)遞減.

所以的最小值,即.

因?yàn)?/span>,所以.

,顯然上為增函數(shù),且

,所以存在.

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,所以滿足條件的最小正整數(shù).

又當(dāng)時(shí), ,所以時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.

(2)證明 :不妨設(shè),于是

,

所以.

因?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

故只要證即可,即證明,

即證

也就是證.

設(shè)

,則.

因?yàn)?/span>,所以,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), ,

所以上是增函數(shù).

,所以當(dāng)總成立,所以原題得證.

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