Question

【題目】設(shè)、、…、為平面內(nèi)的個點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)到、、…、點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為、、…、點(diǎn)的一個“中位點(diǎn)”，有下列命題：①、、三個點(diǎn)共線，在線段上，則是、、的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直線三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個點(diǎn)、、、共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)；其中的真命題是（ ）

A.②④B.①②C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)中位點(diǎn)的定義以及空間中的點(diǎn)與線的位置關(guān)系等逐個證明或舉反例即可.

①若三個點(diǎn)共線,在線段上,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

則是的中位點(diǎn),正確；
②舉一個反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為,而直角頂點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和為7,
∴直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；故錯誤；
③若四個點(diǎn)共線,則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個點(diǎn),故它們的中位點(diǎn)存在但不唯一；故錯誤；
④如圖,在梯形中,對角線的交點(diǎn)是任意一點(diǎn),則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得,
∴梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．正確．

故①④正確.
故選：C