Question

從橢圓+=1(a＞b＞0)上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁,且它的長軸右端點A與短軸上端點B的連線AB∥OM.

(1)求橢圓的離心率；

(2)若Q是橢圓上任意一點，F₂是右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍;

(3)過F₁作AB的平行線交橢圓于C、D兩點，若|CD|=3，求橢圓的方程.

Answer 1

解：(1)由已知可設M(-c,y),

    則有+=1.

    ∵M在第二象限，∴M(-c,).

    又由AB∥OM,可知k_AB=k_OM.

    ∴-=-.∴b=c.

    ∴a=b.

    ∴e==.

    (2)設|F₁Q|=m,|F₂Q|=n,則m+n=2a,mn＞0.|F₁F₂|=2c,a²=2c²,

    ∴cos∠F₁QF₂=

    =

    =-1

    =-1≥-1

    =-1=0.

    當且僅當m=n=a時，等號成立.

    故∠F₁QF₂∈［0,］.

    (3)∵CD∥AB,k_CD=-=-.

    設直線CD的方程為y=-(x+c),

    即y=-(x+b).

    則消去y,整理得

    (a²+2b²)x²+2a²bx-a²b²=0.

   設C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂),∵a²=2b²,

    ∴x₁+x₂=-=-=-b,

    x₁·x₂=-=-=-.

    ∴|CD|=|x₁-x₂|

    =·

    =·

    ==3.

    ∴b²=2,則a²=4.

    ∴橢圓的方程為+=1.