Question

從橢圓+=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線,恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F₁,其長(zhǎng)軸右端點(diǎn)A及短軸上端點(diǎn)B的連線AB平行于OM.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若Q是橢圓上任意一點(diǎn),F₂是右焦點(diǎn),求∠F₁QF₂的取值范圍;

(3)Q為橢圓上的點(diǎn),當(dāng)QF₂⊥AB時(shí),延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P,若△F₁PQ的面積為20,求此時(shí)橢圓的方程.

Answer 1

解:(1)∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上且MF₁⊥x軸,

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(-c,).

又由AB∥OM,可知k_AB=k_OM,

∴.∴b=c,a=b.

∴e==.

(2)設(shè)|F₁Q|=r₁,|F₂Q|=r₂,則r₁+r₂=2a,r₁·r₂＞0,|F₁F₂|=2c,a²=2c²,

∴cos∠F₁QF₂=-1

=≥-1=0(當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂=a時(shí)取等號(hào)).

故∠F₁QF₂∈［0,］.

(3)設(shè)直線PQ方程為y=(x-c).

∵a=b,∴y=(x-c).

因橢圓方程為x²+2y²=2c²,將PQ的方程代入橢圓方程中并整理得5x²-8cx+2c²=0.

∴|PQ|=.

設(shè)點(diǎn)F₁到PQ的距離為h,

則h=c.

∴=×c·c=c²=20,且c＞0.

∴c=5.于是b=c=5,a=b=5.

因此所求的橢圓方程為=1.