Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-（2m+1）x²-6m（m-1）x+1，x∈R．
（1）當m=-1時，求函數(shù)y=f （x） 在[-1，5]上的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）設(shè)f′（x） 是函數(shù)y=f （x） 的導數(shù)，當函數(shù)y=f′（x） 的圖象在（-1，5）上與x軸有唯一的公共點時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求原函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可求得最值；
（2）將題中條件：“函數(shù)f′（x）的圖象與x軸在（-1，5）上只有一個公共點，”等價于“函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸的公共點的橫坐標就是二次方程x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的實數(shù)根”，利用二次函數(shù)根的分布即可求得結(jié)果．

解答：解（1）當m=-1時，f（x）=

2

3

x³+x²-12x+1，
∴f′（x）=2x²+2x-12=2（x+3）（x-2）的兩個根為x=-3或x=2，
只有x=2在[-1，5]上，所以f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞減，在[2，5]上單調(diào)遞增．
又f（-1）=

40

3

，f（2）=-

41

3

，f（5）=

148

3

．（4分）

故函數(shù)y=f（x）在[-1，5]上的最大值為

148

3

，最小值為-

41

3

．（6分）
（2）由已知有f′（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1），x∈R．
函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸的公共點的橫坐標就是二次方程
x²-（2m+1）x-3m（m-1）=0的實數(shù)根，解得x₁=3m，x₂=1-m．
①當x₁=x₂時，有3m=1-m?m=

1

4

，此時x₁=x₂=

3

4

∈（-1，5）為所求．（8分）
②當x₁≠x₂時，令H（x）=x²-（2m+1）x-3m（m-1），則函數(shù)y=f′（x）的圖象在（-1，5）上與x軸有唯一的公共點?H（-1）•H（5）≤0，而H（-1）=-3m²+5m+2，H（5）=-3m²-7m+20，（9分）
所以（-3m²+5m+2）（-3m²-7m+20）≤0，
即（m-2）（3m+1）（m+4）（3m-5）≤0，
解得-4≤m≤-

1

3

或

5

3

≤m≤2．（10分）
經(jīng)檢驗端點，當m=-4和m=2時，不符合條件，舍去．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m=

1

4

或-4＜m≤-

1

3

或

5

3

≤m＜2．（12分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．