Question

【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）不過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，問：直線是否定向的，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不定向，理由見解析.

【解析】

（1）由橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為，列出方程組能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、等比數(shù)列、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線的方向向量，由此能說明直線不定向.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得，解得，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去并整理，得，

計(jì)算，此時設(shè)、，

則，，

于是，

又直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，，整理得，，即，，，解得，

則直線的方向向量為，即直線是不定向的.