【題目】設函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).

1)設,當時,求的最小值;

2)證明:當,時,總存在兩條直線與曲線都相切;

3)當時,證明:.

【答案】(1)最小值(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

(1)求出的解析式,求導求單調(diào)性,然后則可求出最小值.2)總存在兩條直線與曲線都相切,及永遠都存在兩條公切線,分別設出切點求出切線方程,根據(jù)切線方程為同一條,列出方程組求解,證明等式恒成立即可.3)即證明當時,.,求導求令的最小值大于0即可.

解:(1,

時,單調(diào)遞減;

時,單調(diào)遞增,

時,取得最小值.

2)∵,

在點處的切線方程為

在點處的切線方程為.

由題意得,則.

,則,

由(1)得時,單調(diào)遞增,又時,,

∴當時,,單調(diào)遞減;

時,,單調(diào)遞增.

由(1)得

,

,所以函數(shù)內(nèi)各有一個零點,

故當時,總存在兩條直線與曲線都相切.

3.

,以下證明當時,的最小值大于0.

求導得.

①當時,,;

②當時,,

,,

,取且使,即,

,

,存在唯一零點,

有唯一的極值點且為極小值點,又,

,即,故,

,故上的減函數(shù).

,所以.

綜上,當時,.

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1

2技術(shù)改進后樣本的頻率分布表

高度

頻數(shù)

1)根據(jù)圖1和表2提供的信息,試從移植率的角度對培育技術(shù)改進前后的優(yōu)劣進行比較;

2)估計培育技術(shù)未改進的基地樹苗高度的平均數(shù);

3)在市場中,規(guī)定高度在內(nèi)的為三等苗,內(nèi)的為二等苗,內(nèi)的為一等苗.現(xiàn)從表2高度不低于的樹苗樣本中采用分層抽樣的方法抽取株,再從這株幼苗中隨機抽取株,求這株中一、二、三等苗都有的概率.

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,且時,求m的取值范圍.

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