Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，拋物線y²=4

3

x的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，滿足

AM

•

AN

=0，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN是否經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）拋物線y²=4

3

x的焦點(diǎn)F（

3

，0），可得c=

3

；利用e=

3

2

，可得a，從而可求b，即可求出橢圓方程；
（2）對(duì)于是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)問(wèn)題，可先假設(shè)存在，設(shè)直線AM的斜率為k，則AM：y=k（x+2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題．

解答： 解：（1）拋物線y²=4

3

x的焦點(diǎn)F（

3

，0），∴c=

3

．
∵e=

3

2

，∴a=2，
∴b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)直線AM的斜率為k，則AM：y=k（x+2），
與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∵此方程有一根為-2，∴x_M=

2-8k2

1+4k2

，y_M=

4k

4k2+1

同理可得x_N=

2k2-8

k2+4

，y_N=-

4k

k2+4

．
∴k_MN=

5k

4(1-k2)

∴直線MN：y-

4k

4k2+1

=

5k

4(1-k2)

（x-

2-8k2

1+4k2

）
令y=0，可得x=-

6

5

∴直線MN過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（-

6

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直接法求軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．考查推理能力和運(yùn)算能力．