Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值以及相應的x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，再利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期為π．
（2∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值2；
當2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，f（x）取得最小值-1．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題過程不是太復雜，但要求學生能細心計算．