Question

過點(diǎn)（1，3）且與曲線y=x³+2x相切的直線方程為________．

Answer 1

11x-4y+1=0或5x-y-2=0
分析：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，由于直線l經(jīng)過原點(diǎn)，故等式的兩邊同除以x₀即得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x₀處的切線斜率，便可建立關(guān)于x₀的方程．在兩邊同除以x₀時(shí)，要注意對(duì)x₀是否為0進(jìn)行討論．
解答：設(shè)直線l：y-3=k（x-1）．∵y′=3x²+2，∴y′|_x=1=5，
又∵直線與曲線均過點(diǎn)（1，3），于是直線y-3=k（x-1）與曲線y=x³+2x相切于切點(diǎn)（1，3）時(shí)，k=5．
若直線與曲線切于點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀≠0），則k=，∵y₀=x₀³+2x₀，
∴=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|=3x₀²+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²+2，∴2x₀²+3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=-，∴k=x₀²-3x₀+2=，
故直線l的方程為11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
故答案為：11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．