已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點,且兩條漸近線與以點A (0,)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個焦點與A關于y = x對稱.

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)若Q是雙曲線線C上的任一點,F1,F2為雙曲線C的左、右兩個焦點,從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點N的軌跡方程;

    (3)設直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點,另一直線l經(jīng)過M (–2,0)及AB的中點,求直線ly軸上的截距b的取值范圍.

x2y2 = 1 ,x2 + y2 = 1 (x),(–∞,– 2 –)∪(2,+∞)


解析:

解:設雙曲線C的漸近線為y = kx,即kx y = 0.

∵漸近線與x2 + (y )2 = 1相切,∴,∴雙曲線C的漸近線為y = ±x,∴設雙曲線方程為x2y2 = a2.∵A (0,)關于y = x的對稱點為(,0),∴由題意知,雙曲線的一個焦點為(,0),

C = .∴2a2 = 2,a2 = 1,∴雙曲線C的方程為x2y2 = 1.

(2)若Q在雙曲線的右支上,則延長QF2T,使|QT| = |QF1|;若Q在雙曲線的左支上,則在QF2上取一點T,使|QT| = |QF1|.根據(jù)雙曲線的定義,|TF2| = 2.∴T在以F2 (,0)為圓心,2為半徑的圓上,∴點T的軌跡方程是(x )2 + y2 = 4 (x≠0)  ①

易知,點N是線段F1T的中點.

N (x,y),T (x0,y0),則代入①得,N點的軌跡方程為

x2 + y2 = 1 (x)

(3)由得 (1 – m2) x2 – 2mx – 2 = 0,依題意有

AB中點為,∴l的方程為y =

x = 0得  b =    

m∈(1,) ∴–2(m )2 + ∈(–2 + ,1)   

b的范圍是(–∞,– 2 –)∪(2,+∞).

練習冊系列答案
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(2013•濰坊一模)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦點重合,拋物線的準線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|
,則A點的橫坐標為( 。

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(2012•淮南二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點,且橢C的離心e=
1
2
,又A,B為橢圓的左右頂點,M為橢圓上任一點(異于A,B).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直MA交直x=4于點P,過P作直線MB的垂線x軸于點Q,Q的坐標;
(3)求點P在直線MB上射R的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點,R是弦PQ的中點.

   (1)求雙曲線C的方程;

   (2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點,且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。

   (3)若在雙曲線右準線L的左側能作出直線m:x=a,使點R在直線m上的射影S滿足,當點P在曲線C上運動時,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年山東省濰坊市高三3月第一次模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知拋物線的焦點F與雙曲的右焦點重合,拋物線的準線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且,則A點的橫坐標為

A.            B.3                C.            D.4

 

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