Question

12．已知函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)的單調性．

Answer 1

分析 （1）首先，求解該函數(shù)定義域，然后，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷其奇偶性；
（2）直接結合函數(shù)的單調性確定其單調性即可．

解答 解：（1）該函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：
∵$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x＞0，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞x，
∴x∈R，
∴該函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），
∵f（-x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），
=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）^-1，
=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）
=-f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∴該函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）該函數(shù)為減函數(shù)，證明如下：
任意設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）
=lg（$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-{x}_{1}$）-lg（$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}-{x}_{2}$）
=lg$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-{x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}-{x}_{2}}$
=lg$\frac{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}$，
∵0＜$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}＜\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}$，
∴l(xiāng)g$\frac{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴該函數(shù)為減函數(shù)．

點評 本題重點考查了函數(shù)的定義域、函數(shù)的奇偶性、單調性的判斷和證明方法，考查了對數(shù)的運算性質等知識，屬于中檔題．