Question

如圖，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=

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CD，∠BAD=∠ADC=90°；
（1）在線段PC上找一點(diǎn)M，使BM⊥面PCD．
（2）求由面PBC與面PAD所成角的二面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）令M為PC的中點(diǎn)，設(shè)PD中點(diǎn)為N，通過證明BM∥AN，AN⊥面PCD，即可在線段PC上找一點(diǎn)M，使BM⊥面PCD．
（2）延長CB交DA于E，說明∠CPD為二面角C-PE-D的平面角，在△PCD中，求由面PBC與面PAD所成角的二面角的正切值．

解答： 解：（1）M為PC的中點(diǎn)，設(shè)PD中點(diǎn)為N，
則MN=

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CD，且MN∥

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CD，∴MN=AB，MN∥AB
∴ABMN為平行四邊形，∴BM∥AN，
又PA=AD，∠PAD=90°
∴AN⊥PD，
又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，
∴BM⊥面PCD，
（2）延長CB交DA于E，
∵AB=

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2

CD．AB∥

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CD
∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE
又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，
∴∠CPD為二面角C-PE-D的平面角；
在△PCD中，PD=

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AD，CD=2AD；
∴tan∠CPD=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面垂直，二面角的求法，考查空間想象能力、邏輯推理能力．