Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥BC₁；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì),直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AD⊥BC₁，利用BC∩C₁C=C，推出AD⊥平面BCC₁B₁，然后證明AD⊥BC₁；
（2）證明A₁B∥平面ADC₁，利用線(xiàn)面平行的判定，只需證明A₁B∥OD即可．

解答： 證明：（1）∵側(cè)棱與底面垂直，
∴C₁C⊥平面ABC，
又∵AD?平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
∵AB=AC，D為棱BC的中點(diǎn)．
∴AD⊥BC，
又∵BC∩C₁C=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC₁．
（2）連接A₁C交AC₁于點(diǎn)G，連接DG
∵四邊形A₁ACC₁是矩形，
∴G為A₁C的中點(diǎn)，
∵D為棱BC的中點(diǎn)，
∴在△A₁BC中，有DG∥A₁B，
又∵A₁B?平面ADC₁，DG?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，考查面面垂直，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線(xiàn)面平行，面面垂直的判定定理，屬于中檔題．