Question

以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程是

x= 3 t y=t- 3 4

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ=3cosθ，則直線l被曲線C截得的弦長為（　�。�

• A、

  30

  3

• B、6
• C、12
• D、7

  3

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：先將參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，判斷出直線l過拋物線y²=3x焦點(diǎn)F（

3

4

，0），設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立方程消去y后，再由韋達(dá)定理求出x₁+x₂，代入焦點(diǎn)弦公式求值即可．

解答： 解：由

x= 3 t y=t- 3 4

（t為參數(shù)）得，直線l普通方程是：y=

3

3

x-

3

4

，
由ρsin²θ=3cosθ得，ρ²sin²θ=3ρcosθ，即y²=3x，
則拋物線y²=3x的焦點(diǎn)是F（

3

4

，0），
所以直線l過拋物線y²=3x焦點(diǎn)F（

3

4

，0），
設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），
由

y= 3 3 x- 3 4 y2=3x

得，16x²-168x+9=0，
所以△＞0，且x₁+x₂=

168

16

，
所以|AB|=x₁+x₂+p=

168

16

+

3

2

=12，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及直線與拋物線相交時焦點(diǎn)弦的求法，屬于中檔題．