Question

如圖是一塊外輪廓線(xiàn)（A，B間的曲線(xiàn)部分）為拋物線(xiàn)的鋼板，MN為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，A，B是拋物線(xiàn)上關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，其中AB=2，MN=1，先要將其割成矩形PQRS，使矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)P，Q落在線(xiàn)段AB上，另兩個(gè)頂點(diǎn)R，S落在拋物線(xiàn)上．（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出這一拋物線(xiàn)的方程；
（2）求矩形PQRS面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,拋物線(xiàn)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,應(yīng)用題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以頂點(diǎn)M為原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，從而寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求方程；
（2）設(shè)R（x，-x²），Q（x，-1），從而寫(xiě)出面積S（x）=2x（1-x²）=2x-2x³，（0＜x＜1）；求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）如圖，以頂點(diǎn)M為原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，則B（1，-1），設(shè)拋物線(xiàn)方程為x²=-2py，
將B（1，-1）代入得，
P=

1

2

，
即拋物線(xiàn)方程為y=-x²（-1≤x≤1）；
（2）設(shè)R（x，-x²），Q（x，-1），
則矩形PQRS的長(zhǎng)寬分別是2x，1-x²，
其面積為S（x）=2x（1-x²）=2x-2x³，（0＜x＜1）；
S′（x）=2-6x²，
令S′（x）=2-6x²=0解得，x=

3

3

；
列表如下，

x	（0， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，1）
S′（x）	+	0	-
S（x）	上升	4 9 3	下降

則當(dāng)x=

3

3

時(shí)，S（x）有最大值

4

9

3

；
故矩形PQRS的面積最大值為

4

9

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及作圖能力，同時(shí)考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于難題．