Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的兩點，且AE=BF=1，G為AB中點，將四邊形ABCD沿EF折起到（如圖2）所示的位置，使得EG丄GC，連接 AD、BC、AC得（圖2）所示六面體．
（1）求證：EG丄平面CFG；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得四邊形ABEF為矩形，折疊后EF⊥平面BFC，由此能證明EG⊥平面CFG．
（Ⅱ）建系F-xyz，利用向量法能求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵E、F分別是AD，BC上的兩點，
AE=BF=1，
∴四邊形ABEF為矩形，
∴折疊后EF⊥FC，EF⊥BF，
即EF⊥平面BFC，連接GF，
∵AE=1，BF=1，AB=2，∴∠EGF=90°，
由已知得EG⊥GC，
∴EG⊥平面CFG．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FC⊥EG，
∵FC⊥EF，
∴FC⊥平面ABFE，
∴FC⊥BF，…（7分）
如圖建系F-xyz，則A（1，0，2）C（0，2，0）D（0，1，2）
設(shè)

n1

=(x，y，z)為平面ACD的法向量，
∵

AD

=(-1，1，0)，

CD

=(0，-1，2)，
∴

-x+y=0 -y+2z=0

，得

y=x y=2z

．則令z=1，得

n   1

=（2，2，0），…（9分）
又

n2

=（1，0，0）為平面CDEF的法向量，
設(shè)二面角A-CD-E為θ，
則cos＜

n1

，

n2

＞=

2

4+4+1

=

2

3

，即cosθ=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．