Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）判斷函數(shù)在內(nèi)的零點的個數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ），使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1; （Ⅱ）;（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為，所以．因為，所以，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)．因為，，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1．（Ⅱ）因為不等式等價于，所以 ，使得不等式成立，等價于，即．利用導(dǎo)數(shù)，解不等式即可求出結(jié)果；（Ⅲ）采用分析證明發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系即可求證結(jié)論.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1． 1分

理由如下：

因為，所以． 2分

因為，所以，

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)． 3分

因為，，

根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得

函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1． 4分

（Ⅱ）因為不等式等價于，

所以 ，使得不等式成立，等價于

，即． 6分

當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時，取得最小值． 7分

又，由于，

所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，

因此，時，取得最大值． 8分

所以，所以．

所以實數(shù)的取值范圍是． 9分

（Ⅲ）當(dāng)時，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于，只要證． 10分

下面證明時，不等式成立．

令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取得極小值也就是最小值為1．

令，其可看作點與點連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當(dāng)直線與圓相切且切點在第二象限時，

直線取得斜率的最大值為． 12分

故時，；時，． 13分

綜上所述，當(dāng)時，成立． 14分.

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用；3.恒成立問題.